تفکر ریاضی به چه کار می‌آید؟ (قسمت دوم،داستان والد و گلوله‌ها)

داستان "آبراهام والد و حفره‌های گمشده‌ی گلوله‌ها":

این داستان، مانند بسیاری از داستان‌های جنگ جهانی دوم، با تعقیب و گریز نازی‌ها آغاز می‌شود و با پشیمانی نازی‌ها از کردار خود پایان می‌یابد. آبراهام والد در سال 1920 در شهری که آن زمان، کلاوسنبرگ نام داشت، در امپراتوری اتریش-مجارستان به دنیا آمد. جنگ جهانی اول در دوره‌ی نوجوانی او به پایان رسیده بود و نام زادگاه او به "کلوج" در کشور رومانی تغیییر یافته بود. والد از همان نوجوانی در ریاضیات مستعد بود و این توانایی او خیلی زود کشف شد. او برای تحصیل ریاضیات به دانشگاه وین رفت و جذب موضوعاتی شد که برای خود ریاضی‌دانان هم بیش از حد انتزاعی تلقی می‌شدند: "نظریه‌ی مجموعه‌ها و فضاهای متریک".

در اوایل دهه‌ی 1930، زمانی که والد تحصیلاتش را به پایان برد، اتریش دچار بحران اقتصادی بود و امکان نداشت به یک خارجی برای تدریس در دانشگاه وین اجازه داده شود. سرانجام از سوی اسکار مورگنسترن به والد کاری پیشنهاد شد. مورگنسترن بعد‌ها به ایالات متحده امریکا مهاجرت کرد و در آن‌جا نظریه‌ی بازی‌ها را مطرح کرد، اما در آن زمان، یعنی سال 1933، او مدیر موسسه‌ی تحقیقات اقتصادی اتریش بود و والد را با حقوق ناچیزی برای کارهای مربوط به ریاضیات استخدام کرد. این شغل برای والد قدم مثبتی بود: تجربه‌ی او در علم اقتصاد منجر به دریافت پیشنهاد کمک هزینه‌ی تحصیلی از طرف کمیته‌ی کولز (موسسه‌ای اقتصادی در کلرادو اسپرینگز) شد. باوجود تشدید بحران‌های سیاسی، والد به دنبال راهی بود که او را از انجام کارهای مرتبط با ریاضی محض دور کند. در همین حین، نازی‌ها اتریش را تسخیر کردند و حالا انتخاب راه برای والد بسیار راحت‌تر شد. پس از چند ماه به او پیشنهاد استادی در دانشگاه کلمبیا داده شد. او هم بلافاصله راهی نیویورک شد و همان جا بود که شروع به جنگیدن کرد.

گروه پژوهشی آماری (SRG) برنامه‌ی محرمانه‌ای بود که نیروهای ایالات متحده را در جنگ جهانی دوم با هم هماهنگ می‌کرد. والد بیش‌تر دوره‌ی جنگ جهانی دوم را در این گروه سپری کرد. کار این گروه، چیزی مانند پروژه‌ی منهتن[1] بود با این تفاوت که خروجی آن به جای مهمات و تسلیحات، معادلات بود. گروه پژوهش آماری در منهتن، در خیابان 118 ام 401 غربی در ارتفاعات مورنینگ ساید، با فاصله‌ی کمی از دانشگاه کلمبیا قرار داشت. امروزه این بنا به‌عنوان یکی از دانشکده‌های دانشگاه کلمبیا و اتاق چند تن از اساتید مورد استفاده قرار می‌گیرد، اما در سال 1943، این بنا مرکز تحقیقات ریاضیات در زمان جنگ بود. در بخش ریاضیات کاربردی کلمبیا، هزاران زن جوان تمام وقت مشغول محاسبه بودند تا بتوانند فرمولی بهینه برای منحنی حرکت یک جنگنده بیابند که جنگنده با استفاده از آن بتواند دشمن را در تیررأس خود نگه دارد. در بخشی دیگر، گروهی پژوهشی از پرینستون در حال توسعه پروتکل‌‌هایی برای بمباران استراتژیک بودند. و بخش مربوط به بمب اتم از طرف دانشگاه کلمبیا نیز در یک اتاق آن طرف‌تر، مشغول کار بودند.

در این بین، گروه پژوهشی آمار قوی‌ترین و تأثیرگذارترین این گروه‌ها بود. فضایی که ایجاد شده بود ترکیبی از ذهن آکادمیک یک هیئت علمی و حس مشترک در اهدافِ مربوط به جنگ بود. آلن والیس، مدیر این تیم نوشته است که " وقتی توصیه‌ای ارائه می‌دادیم، اتفاقاتی رخ می‌داد. جنگنده‌ها با راهنمایی‌های جک ولفوویتز در رابطه با چگونگی ترکیب مهمات وارد میدان جنگ می‌شدند که ممکن بود موفق شوند یا از بین بروند. ناوگان هوایی، موشک‌هایی شلیک می‌کردند که از سوخت‌های مورد تأیید ابی گیرشیک استفاده می‌کردند. این موشک‌ها ممکن بود هواپیماهای خودمان را از بین ببرند یا هدف مورد نظر را نابود کنند."

کیفیت تیم ریاضی به همان اندازه‌ی ماموریت مهم بود. بنابر نوشته‌های والیس، گروه پژوهشی آمار "چه از لحاظ کمّی و چه از لحاظ کیفی، مستعدترین گروه از آماردانان بود که تا آن زمان گرد آمده بودند." فردریک موستلر، که بعد‌ها دانشکده‌ی آمار دانشگاه هاروارد را تأسیس کرد نیز در این گروه بود؛ هم‌چنین لئونارد جیمی، پیشرو در نظریه‌ی تصمیم‌گیری و یکی از مدافعان بزرگ آمار بیزی. نوبرت وینر، ریاضی‌دان و عضو هیئت علمی دانشگاه صنعتی ماساچوست (MIT) نیز گه‌گاهی به این گروه سر می‌زد. در این گروه، میلتون فرایمن، که بعدها جایزه‌ی نوبل اقتصاد را ربود، باهوش‌ترین فرد گروه نبود!

باهوش‌ترین عضو گروه مشخصاً آبراهام والد، استاد ریاضی دانشگاه کلمبیا بود که روح تخصص ریاضی را با خود به گروه آورده بود. با این حال، او به دلیل ملیتش، به گزارش‌های فنی که خود آن‌ها را تولید می‌کرد، دسترسی نداشت. بین همکاران گروه پژوهشی آمار، شایع شده بود که منشی‌ها بلافاصله پس از پایان تولید گزارش‌ها، آن‌‌ها را برگه برگه از والد می‌گرفتند که مبادا در خطر بیفتند. والد از جنبه‌هایی، عضو نامتعارف گروه بود. گرایش او، مانند همیشه، به سمت انتزاع بود تا کاربرد مستقیم. اما تمایل او به استفاده از استعدادش علیه متحدین مشهود بود و وقتی لازم می‌شد، ایده‌ای مبهم از ریاضیات به عمل تبدیل شود، والد کسی بود که حضورش در گروه لازم بود.

حال سؤال این‌جاست. اگر می‌خواهید هواپیماهایتان توسط دشمن زمین‌گیر نشوند، باید زره قوی‌تری برای آن‌ها در نظر بگیرید. اما زره قویتر، سنگین‌تر است و قدرت مانور هواپیما را کاهش و مصرف سوخت آن را افزایش می‌دهد. زره بیش‌تر برای هواپیما یک مسئله است و زره کم نیز مسئله‌ا‌ی دیگر. جایی بین این دو حالت ، یک حالت بهینه وجود دارد. دلیل استفاده از یک گروه ریاضی‌دان در یک آپارتمان در شهر نیویورک هم پیدا کردن همین حالت بهینه است.

ارتش با مجموعه‌ای از اطلاعات نزد گروه پژوهشی آمار آمدند. بدنه‌ی هواپیماهای آمریکایی که بعد از حمله‌ی خود به اروپا بازگشته بودند، پر از سوراخ گلوله بود اما این سوراخ‌ها به صورت یک‌نواخت در سطح هواپیما ایجاد نشده بودند. سوراخهای روی بدنه بیش‌تر از موتور بود.

قسمت های مختلف هواپیما- تعداد سوراخ‌های گلوله در هر فوت مربع:

موتور	1.11
بدنه	1.73
سیستم سوخت رسانی	1.55
سایر قسمت‌های هواپیما	1.80

افسران ارتش فرصتی برای بهینه‌کردن هزینه‌ها پیدا کرده بودند. می‌توانستند با استفاده از زره کم‌تر، امنیت هواپیما‌ها را حفظ کنند. پیشنهاد دادند که از زره بیش‌تری در قسمت‌هایی که بیش‌تر در تیررس گلوله‌ هستند، استفاده شود. اما چند درصد زره بیش‌تر باید به این بخش‌ها تخصیص پیدا می‌کرد؟ جواب این سؤال آن‌ها را به سمت والد کشاند، اما پاسخی از او نگرفتند.

والد گفت که نباید زره بیش‌تری به قسمت‌هایی که سوراخ گلوله‌ی بیش‌تری دارند اختصاص دهیم؛ بلکه باید برای قسمت‌هایی که کم‌تر هدف گلوله قرار گرفته‌اند، زره بیش‌تری در نظر بگیریم.

نگرش والد بسیار ساده بود، او پرسید که سوراخ‌های گمشده کجا هستند؟ منظورش این بود که اگر گلوله‌ها به طور یکنواخت در سطح کل هواپیما پخش می‌شدند، چه اتفاقی می‌افتاد؟ جواب این سؤال را هم خود او می‌دانست. سوراخ گلوله‌های گمشده در هواپیماهایی دیده خواهد شد که از بین رفته‌اند. دلیل این که این هواپیما‌ها توانسته‌اند از مأموریت بازگردند این است که گلوله‌های کم‌تری به موتورشان خورده است و هواپیماهایی که گلوله‌های بیش‌تری به موتورشان اصابت کرده برنگشته‌اند. این که هواپیماهای زیادی با وجود تعداد زیادی سوراخ گلوله در بدنه توانسته‌اند به مقر خود بازگردند، مدرک بزرگی دال بر این مسئله است که بدنه‌ی هواپیماها توان تحمل تعداد زیادی گلوله را دارد. اگر به یک بیمارستان بروید، تعداد مصدومانی که تیر به پای آن‌ها خورده است بسیار بیش‌تر از تعداد مصدومانی است که گلوله به قفسه‌ی سینه‌شان اصابت کرده است، اما این دلیل موجهی نیست که مردم کم‌تری از ناحیه‌ی قفسه‌ی سینه مورد اصابت گلوله قرار می‌گیرند؛ بلکه دلیلش این است که آن‌هایی که تیر به قفسه‌ی سینه‌شان می‌خورد، می‌میرند.

اجازه دهید که یک ترفند ریاضی قدیمی را به شما نشان دهم که این موضوع را کاملاً روشن می‌سازد: یک یا چند متغیر را برابر صفر قرار دهید. در داستان ما، متغیری که باید تغییر دهیم، این احتمال است که گلوله‌ای به موتور هواپیما برخورد کند و هواپیما هم‌چنان بتواند در آسمان بماند و پرواز کند. اگر این احتمال را برابر صفر قرار دهیم، به این معناست که با اصابت یک گلوله به موتور، سقوط هواپیما حتمی است. سؤال این‌جاست که در این حالت داده‌های ما چه شکلی پیدا خواهند کرد؟ ما تعدادی هواپیما داریم که در همه جای آن‌ها، به‌غیر از موتور آثار گلوله وجود دارد. در این حالت، تحلیلگر نظامی دو گزینه برای توضیح این داده‌ها دارد: نخست این که گلوله‌های آلمان‌ها به طرز معجزه‌آسایی به همه جای هواپیما برخورد کرده است به غیر از موتور، دوم این که موتور آسیب‌پذیرترین نقطه‌ی هواپیماست. هر دو گزینه داده‌های موجود را توصیف می‌کنند، اما گزینه‌ی دوم بسیار منطقی‌تر است. بنابراین، زره بیش‌تر باید در جایی مورد استفاده قرار گیرد که سوراخ کم‌تری در آن دیده می‌شود.

توصیه‌های والد به سرعت عملی شدند و حتی تا زمان جنگ کره و جنگ ویتنام هم در ناوگان هوایی و دریایی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. می‌توان دقیقاً مشخص کرد که این توصیه‌ها، چند هواپیمای آمریکایی را نجات دادند. گرچه، مطمئناً نسل جدید افرادی که در گروه پژوهشی آمار در ارتش فعالیت دارند، از این عدد مطلع هستند. چیزی که وزارت دفاع آمریکا به آن پی‌برده این است که کشورها فقط با استفاده از نیروهای شجاع‌تر، آزادتر یا با خداتر در جنگ پیروز نمی‌شوند. برنده معمولاً کسی است که 5% کم‌تر از جناح رقیب هواپیما از دست می‌دهد، یا 5% کم‌تر سوخت مصرف می‌کنند یا 5% غذای بیش‌تر به نیروی زمینی خود تزریق می‌کنند و هزینه‌ی این غذا را هم 5% درصد کم‌تر می‌کند. این چیزها را در فیلم‌های جنگی نشان نمی‌دهند، اما شالوده‌ی جنگ همین چیزهاست و تمام این‌ها، در تمام مراحل، ریاضیات هستند.

چطور شد که والد به چیزی دقت کرد که افسران ارتش، با اطلاعات عظیمی که از جنگ هوایی داشتند، به آن توجه نکردند؟ این به نوع تفکر مبتنی بر ریاضی او مربوط می‌شود. یک ریاضی‌دان معمولاً از خود می‌پرسد که "فرضیات شما چیست و آیا توجیه مناسبی دارند؟" این فرایند ممکن است کمی خسته‌کننده باشد، اما بسیار مفید است. در داستان ما، افسران ارتش ناآگاهانه فرضیه‌ای را مطرح کرده بودند: هواپیماهایی که بازگشته بودند، نمونه‌ای تصادفی از کل هواپیماها بودند. اگر این فرضیه درست می‌بود، می‌توانستیم توزیع سوراخ‌ها در بدنه‌ی هواپیماهایی را که بازگشته‌اند، به کل هواپیماها تعمیم دهیم. اگر چنین فرضی کرده‌اید، به سرعت معلوم می‌شود که کاملاً در اشتباه هستید. هیچ دلیلی ندارد که انتظار داشته باشیم احتمال از بین رفتن همه‌ی هواپیماها، صرف نظر از محل اصابت گلوله، یکسان باشد.

در بخشی از زبان ریاضی در مقالات بعدی به این موضوع اشاره خواهیم کرد که نرخ از بین نرفتن هواپیماها و محل اصابت گلوله‌ها به هم مرتبط[2] اند.

مزیت دیگر والد، تمایل او به مسائل انتزاعی بود. ولفوویتز که در کلمبیا و زیر نظر والد مطالعه می‌‌کرد، نوشته است که مسائل مورد علاقه‌ی والد، عموماً "انتزاعی‌ترین‌ها" بود و او "همواره آماده بود که در مورد ریاضیات صحبت کند، اما تمایلی به افزایش محبوبیت و کاربردی کردن ریاضیات نداشت".

شخصیت والد چنان بود که توجهش را به مسائل کاربردی جلب کردن مشکل بود. جزئیات مربوط به هواپیماها و تسلیحات، در چشم او بی‌اهمیت بودند. او به سرعت توجه خود را به سمت جزئیات ریاضی داستان جلب کرد. برخی اوقات، این رویکرد ممکن است باعث بی‌توجهی به جزئیاتی شود که در حل مسئله اهمیت دارند. اما از طرف دیگر، این رویکرد به فرد کمک می‌کند که تشابه بین مسائل را بدون توجه به جزئیات سطحی و متفاوت آ‌ن‌ها کشف کند. در این صورت، یک ریاضی‌دان در حل مسائل مختلف تجربه‌ای معنادار دارد، حال آن‌که ممکن است در خود آن حیطه تجربه‌ای نداشته باشد.

از چشم یک ریاضی‌دان، شالوده‌ی اصلی مسئله‌ی سوراخ گلوله‌ها پدیده‌ای به نام تعصب بقا[3] است. این پدیده در مباحث مختلفی خود را نشان می‌دهد و به گفته‌‌ی والد، وقتی با این پدیده آشنا باشید، توجه به آن امر ساده‌ای خواهد بود.

این مسئله مانند صندوق سرمایه‌گذاری مشترک [4] است. وقتی می‌‌خواهیم عملکرد بودجه‌ی تخصیص یافته را مورد بررسی قرار دهیم، مجالی برای خطا وجود ندارد. حتی یک تغییر یک درصدی در رشد سالانه، ممکن است حد فاصل تفاوت بین یک دارایی ارزشمند مالی و یک چیز بی‌ارزش باشد.

یکی از قسمت‌های مورنینگ استار، بخش مخلوط بزرگ آن است که صندوق سرمایه‌گذاری مشترکی در شرکت‌های بزرگی دارد که نماینده‌ی500 S&P ا[5]هستند. وضعیت این بخش مانند حالتی است که در بالا ذکر شد. سرمایه‌های این بخش بین سال‌های 1995 و 2004 به طور متوسط 4/178% رشد داشت که معادل با رشد سالانه‌ی مناسب 8/10 % است. به نظر می رسد که اگر کسی پول نقد در اختیار داشت، باید در این بخش سرمایه گذاری می‌کرد. درست است؟

جواب این‌ سؤال منفی است. در پژوهشی که توسط شرکت ساوانت کپیتال در سال 2006 صورت گرفت، چهره‌ای مغموم‌تر از این اعداد به نمایش درآمد. بهتر است دوباره به روش محاسبه‌ی رشد در شرکت مورنینگ استار دقت کنیم. در سال 2004، همه‌ی سرمایه‌های محرمانه را به‌عنوان مخلوط بزرگ در نظر می‌گیریم و میزان رشد آن‌ها را در ده سال اخیر ارزیابی می‌کنیم.

چیزی که دیده نمی‌شود، سرمایه‌هایی است که در این ارزیابی وارد نشده‌اند. صندوق سرمایه‌ی مشترک چیزی دائمی نیست. برخی از سرمایه‌ها رشد می کنند، برخی نیز از بین می‌روند. اکثر سرمایه‌هایی که از بین می‌روند سودده نیستند. بنابراین، ارزیابی سرمایه‌های مشترک، فقط با بررسی آن‌هایی که هنوز در پایان دوره‌ی ده ساله وجود دارند، صورت می‌گیرد؛ مانند ارزیابی مانورهای خلبانان فقط با توجه به هواپیماهایی که از جنگ برگشته‌اند. حال اگر در هر هواپیما فقط یک سوراخ گلوله پیدا می کردیم چه می‌شد؟ نتیجه‌گیری غلط این می‌بود که خلبانان ما قدرت مانور بسیار بالایی دارند و نتیجه‌گیری درست این می‌بود که هواپیماهایی که بیش از یک گلوله به آن‌ها اصابت کرده است، سقوط کرده‌اند.

مطالعه‌ی ساوانت نشان داد که اگر عملکرد این سرمایه‌های از بین رفته را هم همراه با سرمایه‌های موجود در نظر بگیریم، آهنگ این رشد به 5/134% افت می‌کند که نشانگر رشد معمولی 9/8% در سال است. پژوهش‌های جدیدتر نیز این نتیجه را تأیید کردند. در سال 2011، مطالعه‌ی جامعی بر وضعیت مالی با بیش از 5000 سرمایه‌گذاری نشان داد که نرخ رشد 2641 سرمایه که هنوز پابرجا هستند، حدود 20% بیش‌تر از حالتی است که همه‌ی سرمایه‌ها، هم آن‌هایی که هنوز پابرجا هستند و هم آن‌هایی که از بین رفته‌اند، مورد بررسی قرار می‌گیرند. میزان اثر این مسئله، سرمایه‌گزاران را متعجب کرد، اما احتمالاً این نتایج آبراهام والد را متعجب نکرد.

[1] پروژه‌ی منهتن نام پروژه‌ای است که به ساخت بمب اتم انجامید و در زمان جنگ جهانی دوم از آن استفاده شد. این پروژه با محوریت آمریکا و همکاری بریتانیا و کانادا اجرا شد.

[2] correlated

[3] Survivorship bias

[4] Mutual funds

[5] Standard & Poor's 500

منبع: قلم چی

آمادگی برای ورود به دانشگاه: راهنمای والدین (بخش نخست)

اگر فرزند شما قصد رفتن به دانشگاه و مقاطع تحصیلی بالاتر را داشته باشد، شما باید به چند نکته توجه داشته باشید:

مدیریت مالی

بهتر است فرزند شما حساب بانکی مستقل داشته باشد تا در مواقع لزوم برایش پول انتقال دهید. این حساب بانکی برای دریافت وام دانشجویی نیز مفید است. بیشتر بانک‌ها نرم‌افزارهایی برای موبایل دارند که به کاربران اجازه می‌دهند امور بانکی مانند بررسی موجودی حساب، انتقال وجه و به‌روزرسانی‌های مربوط به هزینه‌ها را با استفاده از آن‌ها انجام دهند و بنابراین فرزند شما می‌تواند موجودی‌ خود را زیر نظر گرفته و یاد بگیرد که برای هزینه‌های بعدی چه مقدار پول باقی‌مانده است. وب‌سایت‌های زیادی، راه‌های مدیریت بودجه را آموزش داده و نکاتی که باید در زمان دانشجویی مورد توجه قرار گیرند را ارائه می‌دهند. همچنین برای وام دانشجویی، منابعی وجود دارد که تمام نکات لازم برای دانشجوها و والدین، مانند چگونگی و زمان بازپرداخت اقساط و میزان بهره‌ی اضافه شده به بازپرداختی‌ها را  توضیح می‌دهد.

موارد ضروری برای زندگی

دانشجوها در سال اول دانشگاه معمولاً در خوابگاه‌های دانشجویی زندگی می‌کنند و یا با تعدادی از دوستان جدید خود هم‌خانه‌ای می‌شوند که در این صورت شما می‌توانید تعدادی از وسایل زندگی آن‌ها را تأمین نمایید. شما باید آن‌ها را برای این گونه زندگی آماده کنید و نکات را برایشان بگویید. مثلاً به یاد داشته باشند که حتی اگر برای اندک زمانی اتاق را ترک می‌کنند، درب آن را قفل کنند.

دانشجوها بهتر است لپ تاپی برای کارهای روزمره‌ی خود مثل مطالعه، تحقیق، کار با نرم‌افزار و حتی دیدن فیلم داشته باشند. دانشگاه‌ها در خوابگاه‌های خود اینترنت به دانشجوها ارائه می‎دهد، ولی اگر فرزند شما در خانه‌ای با دوستانش زندگی می‌کند می‌توانند اشتراک اینترنتی به‌صورت مشترک تهیه نماید.

● تعامل با دوستان

با فرزندان خود در رابطه با زندگی متفاوتی که خواهند داشت صحبت کنید. به آن‌ها گوشزد کنید که بسیاری از رفتارهایی که با خانواده‌ی خود داشته‌اند، مخصوص خانواده است و نمی‌توانند با دوستان و هم‌خوابگاهی‌های آینده خود نیز این رفتار را داشته باشند. استفاده از وسایل شخصی، احترام گذاشتن به حریم دوستان، امانت‌داری، احترام در گفتار، وقت‌شناسی و کمک کردن به دوستان در مواقع ضروری از جمله مسائلی است که می‌تواند موضوع صحبت شما قرار گیرد.

اهمیت دادن به سلامتی

بسیار مهم است که دانشجو توانایی آشپزی و تهیه غذا داشته باشد. دانشجوهایی که این توانایی را دارند سالم‌تر بوده و کمتر بیرون از خانه غذا تهیه می‌کنند. برای تقویت این توانایی در دانشجوها بهتر است ضمن آموزش در خانه، منابع آشپزی نیز به آن‌ها ارائه دهید.

ثبت‌نام و چکاپ اولیه در شبکه پزشکی دانشگاه را در همان هفته اول به دانشجویان توصیه کنید. همچنین اگر دانشجو قبلاً واکسن مننژیت نزده است بهتر است واکسیناسیون مننژیت رایگان دریافت کند.

منبع: قلم چی

آمادگی برای ورود به دانشگاه: راهنمای والدین (بخش دوم)

اگر فرزند شما قصد رفتن به دانشگاه و مقاطع تحصیلی بالاتر را داشته باشد، شما باید به چند نکته توجه داشته باشید:

همراه با بچه‌ها

در تماس‌های تلفنی که با دانشجوی خود دارید هفته‌ای یک‌بار یادآوری کنید تا لباس‌های خود را بشویند. روان‌شناس‌ها پیشنهاد می‌کنند قبل از اینکه فرزند شما به دانشگاه برود در مورد اهمیت تماس تلفنی هفتگی صحبت کنید، به او بگویید که هر چند وقت یک‌بار دوست دارید با شما تماس بگیرند و حتی در مورد برنامه زمانی برای تماس‌ها صحبت کنید. از طرف دیگر در صورت تأخیر در تماس فرزندتان نگران نشوید و جدی نگیرید، زیرا آن‌ها احتمالاً با دوستان خود، در حال مطالعه و یا به‌احتمال زیاد خواب هستند.

معمولاً دانشگاه‌ها در مورد روحیات و مشکلات روحی دانشجوها با والدین آن‌ها صحبت نمی‌کنند، زیرا آن‌ها به دانشجویان به‌عنوان بزرگ‌سالانی می‌نگرند که حق داشتن حریم خصوصی دارند. اگر شما نگران فرزندتان هستید به او پیشنهاد دهید تا با خدمات دانشجویی تماس بگیرند. این مراکز، مشاورانی دارند که می‌توان به آن‌ها اعتماد کرد.

اهمیت موفقیت در تحصیل

همیشه در رابطه با وضعیت تحصیل و نمرات دانشجو پیگیر باشید و در صورت موفقیت او را تشویق کنید و اگر نمرات خوبی به دست نیاورده بود سعی در بر طرف سازی مشکل او داشته باشید. مراقب باشید رفتار شما به گونه‌ای نباشد که دانشجو از گفتن شرایط تحصیلی خود به شما بیم داشته باشد. در صورت اعتماد دانشجو به والدین و استفاده از کمک‌های آن‌ها قطعاً وضعیت تحصیلی بهتری خواهد یافت. دانشجو نباید فراموش کند برای چه هدفی وارد دانشگاه شده است و همیشه باید حمایت والدین خود را حس کند.

خانه‌ی خالی

زمانی‌که فرزندتان برای رفتن به دانشگاه خانه را ترک می‌کند، خانه بزرگ‌تر و آرام‌تر حس می‌شود و دل‌تنگی برای فرزندتان طبیعی است. هر تغییر بزرگی در زندگی احساسات مخصوص به خود را به همراه دارد و البته دیدن ورود فرزندان‌مان به دنیای بزرگ‌تر یک رویداد مهم است. بیشتر والدین نزدیک به دو دهه از عشق و توجه روزانه‌ خود را با ازخودگذشتگی برای ثمره‌های زندگی خود صرف می‌کنند و سپس روزی آن‌ها خانه را ترک کرده و محیط ساکت و آرام می‌شود. 

در برابر وسوسه‌ی صحبت بیش از نیاز با فرزند خود مقاومت کنید.

برای ماه‌های اول دوری از فرزندتان برنامه‌ای مشخص داشته باشید. این امر به شما کمک می‌کند در برابر وسوسه‌ صحبت بیش از نیاز با فرزند خود مقاومت کنید. برای دیدن آن‌ها برنامه‌ریزی کنید، ببینید زندگی آن‌ها چگونه پیش می‌رود و دوستان آن‌ها را ملاقات کنید. اختصاص زمان به ویژه در روزهای اول برای هردوی شما خیلی مهم است.

مرزهای جدید

استفاده از رسانه‌های اجتماعی می‌تواند روش مفیدی را برای برقراری ارتباط فراهم کند. می‌توانید از راه دور فرزندتان را ببینید و نگرانی کاذب در مورد سلامتی او را برطرف کنید. با تماس‌های تصویری مشاهده خواهید کرد که او چگونه از پس مشکلات خود برمی‌آید. همچنین اگر در فضای مجازی رفتار نامتعارفی از فرزند خود دیدید، صبر کنید تا در زمان مناسب و با ملایمت با او صحبت کنید.

منبع: قلم چی

تفکر ریاضی به چه کار می‌آید؟ (قسمت سوم،گسترش حس مشترک با دنیا)

در این لحظه، مصاحبه‌کننده‌ی نوجوان من احتمالاً صحبتم را قطع خواهد کرد و خواهد پرسید: "ریاضیات در کجای این صحبت‌ها جای دارد؟ درست است که والد یک ریاضی‌دان بود و راه حل او در مسئله‌ی جای گلوله‌ها نشانی است از نبوغ او، اما نکته‌ی مبتنی بر ریاضی این بحث کجاست؟ چیزی مخفی در راه حل او دیده نمی‌شود. از انتگرال و نامعادلات و فرمول‌های بزرگ نیز در حل این مسائل استفاده نشده است."

نخست این که والد از فرمول استفاده کرده است. من داستان را بدون باز کردن این مسائل تعریف کردم و فقط مقدمه‌ای از آن را برای شما شرح دادم. وقتی کتابی در مورد تولید مثل برای کودکان می‌نویسید، طبیعتاً وارد جزئیات نمی‌شوید. به جای آن، احتمالاً با چنین جملاتی کتاب را آغاز می‌کنید: "همه چیز در طبیعت در حال تغییر است، درختان برگ‌های خود را در زمستان از دست می‌دهند تا بتوانند در بهار آن‌ها را بازیابند؛ کرم ابریشم وارد پیله می‌شود تا بتواند به پروانه‌ای زیبا بدل گردد. شما نیز بخشی از این طبیعت هستید و ..."

ما اکنون در این بخش از کتاب هستیم. اما همه‌ی ما افراد بزرگ‌سالی هستیم. در ادامه به‌عنوان نمونه، بخشی از گزارش اصلی والد را با هم می‌بینیم:

امیدوارم خیلی شوکه نشده باشید.

با این حال، ایده‌ی اصلی پشت پرده‌ی بینش والد نیازی به این فرمول‌ها ندارد. ما همین جا کل این ایده را بدون استفاده از یک فرمول نشان دادیم. چه چیزی باعث می‌شود فکر کنیم همه‌ی این‌ها ریاضی هستند؟ آیا حس مشترک عمومی نیستند؟

درست است. ریاضیات مقوله‌ای از حس مشترک است که به وضوح می‌توان در سطوح پایه دید. چطور برای کسی می‌توان اثبات کرد که اضافه کردن هفت چیز با پنچ چیز نتیجه‌ای یکسان با اضافه کردن پنج چیز با هفت چیز دارد؟ نمی‌توان این کار را انجام داد: این حقیقت در شالوده‌ی روش تفکر ما در مورد ترکیب اشیاء شکل گرفته است. ریاضی‌دان‌ها علاقه‌مندند که پدیده‌های ساده‌ی اطراف خود را نام‌گذاری کنند:به جای این که بگویند " اضافه کردن این به آن، درست مانند اضافه کردن آن به این است"؛ می گویند " عمل جمع شرکت‌پذیر است." یا، از آن‌جا که کار با علائم را می‌پسندند، می‌نویسیم:

برای هر دو عدد a و b داریم : a + b = b + a

باوجود استفاده از این فرمول شیک، همه‌ی ما می‌دانیم که داریم در مورد چیزی صحبت می‌کنیم که هر کودکی نیز به طور غریزی از آن خبر دارد.

ضرب هم قانونی مشابه دارد. برای این عمل هم فرمولی به صورت زیر وجود دارد:

برای هر دو عدد a و b داریم :a x b = b x a

این گزاره، برخلاف گزاره‌ی مربوط به عمل جمع، در ذهن این فکر را القا نمی‌کند که این مسئله حس مشترک است. آیا این ایده که شش مجموعه‌ی دوتایی مقداری مشابه با دو مجموعه‌ی‌ شش‌تایی دارد، "حس مشترک" است؟ شاید این‌طور نباشد، اما می‌توان آن را به حس مشترک تبدیل کرد. توجه‌تان را به اولین خاطره‌ی ریاضیاتی خود جلب می‌کنم.

من کف خانه‌ی پدری‌ام دراز کشیده بودم؛ به‌طوری که گونه‌ام بر روی فرش بود و نگاهم به سیستم استریوی خانه دوخته شده بود. احتمالاً شش سال داشتم. دهه‌ی هفتاد میلادی بود و بلندگو‌ها بدنه‌های چوبی داشتند که آرایه‌ای مستطیلی از سوراخ‌ها در کناره‌هایشان بود. هشت سوراخ در وجوه جلو و عقب و شش سوراخ در وجوه بالایی و پایینی وجود داشت. تا این جا، من دراز کشیده‌ام و دارم به سوراخ‌ها نگاه می‌کنم. شش ردیف و هشت ستون سوراخ. با متمرکز کردن نگاهم، می‌‌توانستم یا ردیف‌ها را دقیق ببینم یا ستون‌ها را. شش ردیف که هرکدام هشت سوراخ دارند. هشت ستون که هرکدام شش سوراخ دارند.

همین موقع بود که به این نتیجه رسیدم. هشت گروه شش‌تایی دقیقاً برابر است با شش گروه هشت‌تایی. دلیل این کشف، استفاده از یک قانون نوشته شده نبود، بلکه دلیلش این بود که طور دیگری نمی‌شد به این مسئله نگاه کرد. تعداد سوراخ‌ها در بلندگو مقداری ثابت بود و این مقدار هر طور شمارش شود، تغییری در آن پیدا نمی‌شود.

ما دوست داریم ریاضیات را با فهرستی از قوانین تدریس کنیم. شما باید این قوانین را به ترتیب بیاموزید و از آن‌ها تبعیت کنید. اگر این کار را نکنید، نمره‌ی بسیار کمی می‌گیرید. اما " این ریاضیات نیست". ریاضیات عبارت است از مطالعه‌ی مباحثی که به شکلی خاص دیده می‌شوند و نمی‌توان آن‌ها را طوری دیگر دید.

بیایید منصفانه نگاه کنیم: نمی‌توان همه‌ی مباحث ریاضی را، مانند جمع و ضرب، به شکلی ساده و به صورت "حس مشترک" ارائه داد. کسی نمی‌تواند مسائل حساب را با حس مشترک حل کند، اما حساب هم‌چنان از حس مشترک ما نشأت گرفته است. نیوتن از بینش ذاتی ما از فیزیک در مورد حرکت اجسام در خط راست استفاده کرد، آن را فرمول‌بندی کرد و سپس بر مبنای این فرمول‌بندی، توصیفی جهانی از حرکت ارائه داد. با استفاده از نظریه‌ی نیوتون می‌توان مسائل پیچیده را حل کرد. مشابه همین مسئله، ما سیستم‌هایی درونی برای ارزیابی احتمال یک رخداد خاص داریم. اما این سیستم‌ها، به ویژه در مواجهه با مسائل پیچیده‌تر، بسیار ضعیف و غیرقابل اطمینان هستند. در این هنگام است که ما بینش ذاتی خود را با نظریه‌ها و تکنیک‌‌های مناسب درمی‌آمیزیم تا نظریه‌ی آمار ریاضی را به‌وجود آوریم.

زبان خاص ریاضیات که ریاضی‌دانان به وسیله‌ی آن با هم گفت و گو می‌کنند، ابزاری فوق‌العاده مفید برای انتقال صحیح و آسان مفاهیم پیچیده است. اما بیگانگی این زبان در نظر دیگر افراد جامعه ممکن است این ایده را در ذهن آن‌ها پدید آورد که تفکر مبتنی بر ریاضی مسئله‌ای است مخصوص ریاضی‌دانان. این فکر کاملاً غلط است.

ریاضیات مانند پروتزی قدرتمند است که قدرت مغز را بسیار افزایش می‌دهد. جدا از قدرت ریاضی و صورت نوشتاریِ گه‌گاه عجیب و غریبش، کار ذهنی صورت گرفته در حل مسائل ریاضی تفاوت چندانی با کار ذهنی صورت گرفته هنگام حل مسائل ساده‌تر روزمره ندارد. دوست دارم که تصویری از مرد آهنی که با مشتش دیوار را خُرد می‌کند در ذهنم داشته باشم. در عین حال، می‌دانم که نیروی عامل این شکستگی توسط عضلات تونی استارک وارد نمی‌شود، بلکه توسط مجموعه‌ای از سروُ مکانیسم[1] هایی که کاملاً هماهنگ شده‌اند و توسط یک ژنراتور ذرات بتای فشرده کار می‌کنند، اعمال می‌شود. از سوی دیگر، ‌از منظر تونی استارک، او دارد به دیوار مشت می‌زند و این کار را به همان‌گونه‌ای انجام می‌دهد که گویی بدون زره‌اش در حال انجام آن است. تنها تفاوت در این است که قدرت او همراه با زره، بسیار بیش‌تر است.

به تعبیر کلاسویتز[2]: ریاضیات عبارت است از بسط بینش درونی بشر با روش‌های دیگر.

بدون استفاده از ساختار دقیق ریاضیات، بینش ممکن است ما را به بی‌راهه ببرد. این همان اتفاقی است که برای افسران نظامی افتاد که می‌خواستند قسمت‌هایی از هواپیما را تقویت کنند که به خودی خود به اندازه‌ی کافی مقاومت داشت. اما ریاضیات رسمی، بدون در نظر گرفتن بینش ما و تعامل بین استدلال مجرد و بینش ما در مورد کمیت، زمان، فضا، حرکت، رفتار و عدم قطعیت، قطعاً چیزی جز تلاشی مجزا برای دنبال کردن قوانین و کتابداری نیست. به عبارت دیگر، ریاضی دقیقاً همان چیزی می‌شد که دانشجوی سرخورده‌ی درس حساب به آن فکر می‌کند.

خطر اصلی همین جاست. جان ون نومان[3]، در مقاله‌ای در سال 1947 ، تحت عنوان "ریاضی‌دان" می نویسد: به همان اندازه که تفکر مبتنی بر ریاضی از ریشه‌های تجربی خود دور می‌شود، و اگر نسل‌های دوم و سوم مستقیماً با ایده‌هایی از "واقعیت" ارتباط برقرار نکنند، آینده‌ی آن به شدت در خطر خواهد بود. در این حالت، ریاضیات رفته رفته به سمت زیبایی‌شناسی صرف می‌رود و روز به روز بیش‌تر "به هنر برای هنر" تبدیل خواهد شد. اگر زمینه‌ی مورد نظر مملو از موضوعات مرتبط به هم باشد و ارتباط تجربی معناداری با هم داشته باشند، این موضوع هنر شدن به‌طور کلی چیز بدی نیست. هم‌چنین، اگر موضوع مورد نظر تحت‌تأثیر شدید افرادی روشن با سلایقی خاص باشد هم مشکلی پیش نخواهد آورد. اما این خطر وجود دارد که موضوع مورد نظر در جهت‌‌هایی با حداقل مقاومت در برابر تغییر حرکت کند و به شاخه‌هایی بی‌شمار و بی‌اهمیت تبدیل شود که موضوع مورد نظر را به انبوهی از جزئیات و پیچیدگی‌های بدون نظم بدل می کند. به عبارت دیگر، در فاصله‌ای بسیار دور از منشأ تجربی‌اش یا در خلال بحث‌های انتزاعی، موضوعی که بر ریاضیات مبتنی است، در خطر متلاشی شدن قرار خواهد گرفت.

منبع: قلم چی

راهنمای دانشجویان سال اولی: انتخاب واحد؟ (بخش سوم)

یکی از تفاوت‌های اصلی بین دبیرستان و دانشگاه انتخاب واحد است. در واقع، دانشجویان در دانشگاه این حق را دراند که واحدها را خودشان انتخاب کنند و همین باعث می‌شود باید بیشتر از گذشته به انتخاب‌های خود دقت کنند. در این مطلب برای به دانشجویان تازه‌وارد کمک می‌کنیم با دیدی بلندمدت‌تر و موثرتر به انتخاب واحد نگاه کنند.

دروس عمومی با اینکه خیلی مهم نیستند، از آنجا که خارج از حوزه­ی تخصص دانشجویان است، آن‌ها را وادار به تلاش بیشتر می­کند. بسیاری از دانشجویان تصور می­کنند از آنجا که اخذ این واحدها الزامی است، باید آن‌ها را در سال­های اول و دوم انتخاب کرده و هرچه سریع‌تر آن‌ها را از سر راه بردارند.

اما این که دانشجویان در سال­های ابتدایی دانشگاه سعی در از سر راه برداشتن چالش­های مختلف داشته باشند اصلاً امر خوب و هیجان‌انگیزی نیست. اولین وظیفه­ی دانشجویان در سال­های ابتدایی یافتن رشته­ها و گرایش‌هایی است که برایشان جذاب بوده و در آن استعداد دارند. دانشجویان نباید کلاس­ها را تنها برای این که مجبور به گذراندن آن‌ها هستند، انتخاب کنند. ملاک انتخاب واحد باید، جذابیت، استاد خوب و یاد گرفتن مهارت باشد.

با پخش کردن درس­های عمومی در طول سال­های تحصیل می­توانید بفهمید به چه گرایش و رشته­ای علاقه دارید و می­توانید وقت بیشتری در ابتدای تحصیلتان صرف آن کنید. همچنین به‌عنوان دانشجوی سال سوم و چهارم می­توانید دروس عمومی­ای را انتخاب کنید که متمم دیگر دروس باشند. انتخاب این دروس کمک کرده تا بتوانید نمراتی که در درس­های اختصاصی از دست داده­اید جبران کنید. به‌عنوان دانشجوی باتجربه در سال­های انتهایی تحصیل بهتر می­توانید تصمیم بگیرید چه درس­هایی را با چه استادی بردارید که هم نمره­ی خوبی در آن کسب کنید و هم مهارت بیاموزید.

یک دانشجوی معمولی در طول چهار سال دانشگاه در حدود 50 کلاس شرکت می­کند، حدود 6 کلاس در هر ترم. این در حالی است که در هر دانشگاه در سال حدود چند صد و یا چند هزار کلاس برگزار می­شود. شاید دانشجویان احساس کنند که شرکت در همان 50 کلاس و انجام تکالیف آن‌ها تمام وقتشان را پر می­کند. ولی تجربه ثابت کرده که دانشجویان وقت اضافی فراوانی دارند و می­توانند از این زمان برای شرکت در دیگر کلاس­ها استفاده کنند.

اگر فقط به آموزش توجه دارید نه به مدرک تحصیلی، بهترین روش آموزشی در دنیا هنوز رایگان است. به دانشگاه بروید و در کلاس­ها شرکت کنید. تا زمانی که می­خواهید بمانید و هر چیزی که دوست دارید یاد بگیرید. هیچ‌کس به شما چیزی نخواهد گفت. تنها مشکل این است که فارغ از این که چقدر یاد گرفته­اید، هیچ اثری از اینکه در آنجا حضورداشته‌اید وجود نخواهد داشت.

پیشنهاد ما شرکت در یک یا دو کلاس در هر ترم است. قبل از انجام این کار از استاد مربوطه برای حضور در کلاس اجازه بگیرید. معمولاً جواب استادها مثبت خواهد بود، هرچند شاید از دانشجو انتظار حل تکالیف ارائه شده در کلاس را داشته باشند.

درهرصورت هزینه­ی انجام این کار حضور سه ساعت در هفته در کلاس و حل گهگاه تمرینات خواهد بود. سود دانشجویان از این کار یادگیری مطالبی است که استاد برای آماده­سازی و آموزش آن زحمت زیادی کشیده است.

منبع: قلم چی